Перестановки
Описываются понятия r-перестановок множества, r-сочетания, перестановки с повторениями.
п.1. r- перестановки.
Определение. r- перестановкой множества A называется кортеж из r попарно различных элементов множества A. Иногда r- перестановки называют размещениями без повторения.
Если (a
, ..., a
) есть r-
перестановка n- элементного множества, то r £ n.
Обозначение. Обозначим P(n, r) число всех r- перестановок n- элементного множества, где n, rÎN. Положим P(n, 0) = 1 для nÎN0.
Теорема 1. Число всех r- перестановок n- элементного множества, где
n, rÎN, вычисляется по формуле
P(n, r) = n
= n(n -1)...(n
- r + 1). (1)
Доказательство. Первая координата r- перестановки n- элементного множества может быть выбрана n способами, если первая координата выбрана, то вторая координата может быть выбрана n-1 способами, если выбраны первые две координаты, то третья координата может быть выбрана n-2 способами и т.д. до r- ой координаты включительно, которая может быть выбрана n-r+1 способами. Из теоремы 2, п.3, следует равенство (1).
Следствие 1. Пусть A и B- конечные множества, |A| = n, |B| = r, где
n, r ÎN. Тогда число всех инъекций f: B ® A равно P(n, r) = n.
Доказательство. Обозначим B={b, ..., b}, инъекция f: B ®A может быть записана в табличной форме
,
где кортеж 
есть r-
перестановка множества A. Поэтому искомое число равно P(n, r).
Определение. Пусть A есть n- элементное множество. Перестановкой множества A называется n- перестановка множества A. Другими словами, перестановка множества A это кортеж содержащий все элементы множества A по одному разу.
Следствие 2. Число всех перестановок n- элементного множества равно n!.
Доказательство. Искомое число равно P(n, n) = n
=
n(n-1)...(n-n+1) =
= n!.
Следствие 3. Пусть A и B- конечные множества, |A| = |B| = n, nÎN. Тогда число всех биекций f: B ® A равно n!.
Доказательство. Т.к. |A| = |B|, то каждая биекция f: B ® A является инъекцией и наоборот. По следствию 1, искомое число равно P(n, n) = n!.
п.2. r -элементные подмножества (r - сочетания).
Определение. Пусть A- конечное множество. r- сочетанием множества A называется любое r- элементное подмножество множества A.
Теорема 1. Пусть A есть n- элементное множество, n, rÎN
. Справедливы
утверждения:
1. Число всех r- сочетаний n- элементного множества
равно 
.
2. Число всех r- элементных подмножеств n- элементного
множества равно 
.
Доказательство. Обозначим K- число всех r- сочетаний
n- элементного множества A. Каждое r- элементное подмножество n- элементного
множества A определяет r! перестановок множества A, при этом разные
подмножества определяют разные перестановки. Поэтому K×r! - число всех r- перестановок множества A, равное n. Отсюда
следует, что K = n/ r! = =.
Пример 1. Каждый кортеж 
N
, где 
, кодируется
k-элементным подмножеством 
множества 
. Поэтому, при
фиксированном k, число всех кортежей N, где , равно 
.
Пример 2. Перечисление беспорядков степени n.
Обозначим U- множество всех перестановок степени n, 
. Будем
считать, что элементами перестановок являются числа . Перестановка
степени n называется беспорядком, если 
для всех 
.
Существует только один беспорядок 
степени 2.
Существует только два беспорядка 
степени 3.
Для обозначим 
множество всех перестановок степени n таких, что 
. Число всех
беспорядков степени n равно числу всех перестановок степени n не принадлежащих
множеству 
. Обозначим 
число всех беспорядков степени n. По формуле
включения- исключения
, (1)
где суммирование ведётся по всем кортежам Nтаким, что
. Легко
видеть, что для любого кортежа N, где справедливо равенство
.
При фиксированном k число всех кортежей N, где , равно . Из равенства
(1) следует, что
.
Поэтому
.
п.3. Перестановки с повторениями.
Определение. Кортеж t = (b, ..., b
) называется
перестановкой с повторениями состава (n, ..., n
) множества {a, ..., a}, если
элемент a входит в t n раз, ..., a входит в t n раз, где n, ..., nÎN, 
.
Обозначение. Обозначим P(n, ..., n) число всех
перестановок с повторениями состава (n, ..., n) некоторого k
- элементного множества, где n = = n+...+n.
Теорема 1. Для любого (n, ..., n)ÎN
P(n, ..., n) = n!/n!...n! , где n = n+...+n .
Доказательство. Перестановка (b, ..., b) состава (n, ..., n) множества {a, ..., a} кодируется
кортежем длины k: на первом месте кортежа записано множество тех мест в
перестановке на которых расположен элемент 
; на втором
месте кортежа записано множество тех мест в перестановке, на которых расположен
элемент 
; ...; на k -
ом месте кортежа записано множество тех мест в перестановке, на которых
расположен элемент 
. Первый
элемент кортежа может быть выбран 
способами; если первый элемент выбран, то
второй можно выбрать 
способами;
...; если первые 
элементов выбраны, то k- ый элемент может быть
выбран 
способами. По
правилу произведения получаем, что число всех перестановок с повторениями
состава (n, ..., n) из {a, ..., a} равно
P(n, ..., n) = 
...
=
= 
Обозначение. Для " n, ..., nÎN
полиномиальный коэффициент 
определяется
равенствами:
если n +...+ n = n, то 
;
если n +...+ n ¹ n, то 
.
Следствие 1. Пусть A и B- конечные множества такие,
что |A| = n, |B| = k, (n, ..., n)ÎN, n +...+ n = n, B = {b, ..., b}. Тогда число
всех функций
f: A ® B таких, что |f 
(b
)| = n для всех i = 1,
..., k, равно .
Доказательство. Пусть A={a, ..., a}. Запишем
функцию f: A ® B в табличном виде 
.
Кортеж (f(a), ..., f(a)) есть
перестановка с повторениями состава (n, ..., n) множества {b, ..., b}.
Следствие 2. Пусть U- конечное множество, |U| = n.
Тогда число кортежей множеств (A, ..., A) таких, что
|A| = n, ..., |A| = n,
|AÇA
| = Æ для всех i ¹ j,
AÈ...ÈA = U, равно.
Доказательство. По теореме 2 п.3 число таких кортежей равно
...
= .
Список литературы
Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вводный курс математики. Учебно-методическое пособие. 2002
В.Е. Маренич. Журнал «Аргумент». Задачи по теории групп.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.2 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.3 Основные структуры алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. Изд. третье – М.: Физмат лит-ра, 2001
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://referat.ru/
Дата добавления: 30.06.2011
