Уравнения Максвелла для электростатики. Векторные операторы в различных системах координат
Уравнения Максвелла для электростатики. Векторные операторы в различных системах координат.
М.И. Векслер, Г.Г. Зегря
Уравнения Максвелла для электростатики имеют вид:
|
|
= |
ρ |
|
|
|
= |
|
При этом
|
|
(4) |
В вакууме ε = 1, так что
|
|
(5) |
Потенциал φ считается равным нулю на бесконечности, если не оговорено иное.
Векторные операторы (grad, div, rot), фигурирующие в уравнениях Максвелла, по-разному записываются в различных системах координат:
|
|
= |
|
(6) |
|
|
(7) |
||
|
|
(8) |
|
|
= |
|
(9) |
|
|
(10) |
||
|
|
(11) |
|
Δ φ |
= |
|
(12) |
|
|
(13) |
||
|
|
(14) |
Для цилиндрической и сферической систем выписана лишь радиальная часть соответствующих операторов. Этого достаточно для решения задач, в которых электрические величины зависят только от r.
|
|
= |
|
(15) |
Задача.
Электрическое поле зависит только от координаты x согласно формуле 
. Требуется вычислить распределение заряда
ρ(x) и распределение потенциала φ(x). При нахождении φ(x)
принять φ|x = 0 = 0.
Решение: Распределение заряда находится непосредственно из уравнения Максвелла:
|
ρ |
= |
|
|
|
ρ |
= |
|
Для нахождения потенциала φ(x) необходимо интегрирование уравнения (4), причем с обоснованно взятыми пределами, а именно от точки x = x*, в которой φ(x*) = 0 до точки x, в которой ищется потенциал:
|
|
В условии сказано, что φ(0) = 0 - это и диктует выбор нижнего предела:
|
|
В
качестве переменной интегрирования мы используем 
,
чтобы избежать путаницы с x. Теперь мы проводим вычисление и приходим к
окончательному ответу:
|
φ(x) |
= |
|
|
|
= |
|
Задача. В некоторой области распределение потенциала является цилиндрически-симметричным и подчиняется закону φ = α r5, где r - расстояние от оси. Найти Er(r) и ρ(r) для этой области.
Ответ: Er(r) = –5α r4, ρ(r) = –25ε0α r3
Задача. Потенциал внутри шара зависит от координаты r как φ(r) = ar2+b (a, b - константы). Найти ρ(r).
Решение Мы имеем дело со сферической системой и должны работать в ней. Ввиду симметрии, электрическое поле направлено от центра шара (или, вообще говоря, к нему - это зависит от знака a). Поле находим как градиент потенциала:
|
|
После
этого сразу записывается 
(у
нас ε = 1):
|
|
Далее используем уравнение Максвелла для нахождения заряда:
|
|
Задача.
В цилиндрической системе имеется электрическое поле 
, α>0. Выяснить, какому распределению
заряда ρ(r) и какому потенциалу φ(r) такое поле соответствует.
Ответ:
ρ(r) = Aε0exp(–α r)(2–α r), 
Задача.
Проверить, выполняется ли критерий потенциальности (
)
для поля 
и для поля 
.
Ответ: Для первого поля - да, для второго - нет.
Список литературы
1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.
2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://edu.ioffe.ru/r
Дата добавления: 21.02.2011
